Az ábrán látható összes egyenes egy sikban fekszik, az $$m$$ és $$n$$ egyenesek 
párhuzamosak.Határozza meg az $$α$$ szög fokmértékét

Az  $$\overline{OA}$$ vektor a térbeli koordinátarendszer $$O_z$$ tengelyén fekszik (lásd ábra) és kezdőpontja egybeesik az origóval. Határozza meg az $$\overline{OA}\ $$vektor koordinátáját, ha hossza egyenlő $$3$$.

Az $$A$$ pont az síkhoz tartozik. A felsorolt állítások közül, melyek lesznek
helyesek?
I. Az $$A$$ ponton keresztűl merőlegesegyenes húzható az síkhoz?
II. Az $$A$$ ponton keresztűl merőlegessík húzható az síkhoz?
III. Az $$A$$ ponton keresztűl párhuzamossík húzható az síkhoz?

Az $$AB$$ szakasz az $$\alpha$$ síkot egy $$O$$ pontban metszi. Az $$AO$$ és $$BO$$ szakaszok vetületei az $$\alpha$$ síkra megfelelően $$5 cm$$ és $$20 cm$$ egyenlő. Határozza meg az $$AB$$ szakasz hosszát, ha $$AO=8 cm$$.

A $$b$$ egyenesnek nincs közös pontja az $$\alpha$$ síkkal. A felsorolt állítások közül melyik
lesz igaz?

I. A $$b$$ egyenesen keresztül csak egy merőlegessík húzható az $$\alpha$$ síkhoz.

II. A $$b$$ egyenesen keresztül csak egy párhuzamossík húzható az $$\alpha$$ síkhoz.

III. Az $$\alpha$$ síkon csak egy párhuzamosegyenes húzható a $$b$$ egyeneshez.

Az $$xy$$ koordináta síkon öt pontot ábrázoltak: $$O, L, N, M, K$$ (lásd ábra). Az egyik pont annak a körvonalnak a középpontja, amelyik érinti az ordináta tengelyt az $$M$$ pontban. Melyik pontban van a körvonal középpontja?

A gömb és sík metszetének területe $$81\pi \ cm^2$$. Határozza meg a gömb középpontja és a metszet közötti távolságot, ha a gömb sugara $$15cm$$ egyenlő.

A derékszögű koordinátarendszer $$xy$$ síkján megadták az $$O(0; 0)$$  és $$A(6; 8)$$  pontokat. Az $$A$$  pontból az $$x$$ tengelyre merőlegest húztak. A $$B$$  pont a merőleges talppontja.  Feleltesse meg az $$(1 – 4)$$ felsorolt mennyiségeket az $$(А – Д)$$ számértékével

Három egy síkon fekvő egyenes egy pontban metszik egymást (lásd ábra). Határozza meg az  $$\alpha$$  szög fokmértékét.

Az ábrán az $$ABCD\ A_1B_1C_1D_1$$  kocka látható. A felsorolt egyenesek közül, melyik lesz párhuzamos az $$(AA_1B_1)$$ síkkal?

Az $$SABCD$$  gúla alapja egy $$ABCD$$  trapéz $$\left(AD\ \parallel \ BC\right)$$ , amelynek középvonala $$5 cm$$  egyenlő. Az $$SB$$  él merőleges a gúla alapjára és kétszer nagyobb az $$ABCD$$  trapéz középvonalánál. Határozza meg az $$SD$$  él középpontja és az $$SBC$$  sík közötti távolságot ($$cm$$ -ben), ha a gúla térfogata $$210 cm^3$$  egyenlő.

A rajzon ábrázoltak egy $$1 cm$$  oldalhosszúságú $$ABCD$$  négyzet és egy derékszögű $$CDF$$  háromszög, amelynek $$CF$$  átfogója $$\sqrt{5}cm$$  egyenlő. Az alakzatok egy síkon fekszenek. Minden (1 – 4) mondat kezdethez rendeljen egy olyan (А – Д) mondat befejezést, hogy igaz állítást kapjon.

A henger alsó és felső alapköreihez tartozó $$A$$  és $$B$$  pontjain keresztül, amelyek nem egy alkotóhoz tartoznak, a henger tengelyéhez párhuzamos síkot húztak. Az alsó alaplapjának középpontjától a síkig a távolság $$2 cm$$  egyenlő, a keletkezett metszet területe pedig $$60\sqrt{2}cm^2$$ . Határozza meg az $$AB$$  szakasz hosszát ($$cm$$-ben), ha a henger oldalfelületének területe $$20\sqrt{30\pi }cm^2$$  egyenlő.

A derékszögűkoordinátarendszerben az $$xyz$$ síkon az $$A(2; 0; 0)$$ és $$B(– 4; 2; 6)$$ pontok vannak megadva. Minden (1 – 4) mondat kezdethez válasszon egy olyan  (А – Д) mondat véget, hogy a kapott állításigaz legyen.

Az egyenes $$ABCD\ A_1B_1C_1D_1$$  négyoldalú hasáb alaplapja egy $$4 cm$$  és $$4\sqrt{3}cm$$  oldalhosszúságú téglalap. $$A,B_1$$ és $$C$$  csúcsokon áthaladó sík az alaplappal $$60^{\circ}$$ szöget alkot. Határozza meg a hasáb magasságát ($$cm​​​​​​​$$ -ben).

Az $$a$$ és $$b$$ kitérő egyenesek. A felsorolt állítások közül melyik lesz igaz?

I. Az $$a$$ és b egyenesek metszik egymást.

II. Az $$a$$ és $$b$$ egyenesek egy síkban fekszenek.

III. Létezik olyan egyenes, amely páruzamos az $$a$$ egyenessel és metszi a $$b$$ egyenest.

Az $$SABCD$$ gúla alapja az $$ABCD$$ rombusz, amelynek nagyobbik átlója $$AC = 30$$. Az $$SBC$$ oldallap egy egyenlőszárú háromszög $$(SB = SC)$$ és merőleges az alaplap síkjára. Az $$SC$$ él hajlásszöge a gúla alaplapjának síkjához $$30^{\circ}$$. Határozza meg az $$(SAD)$$ és $$(ABC)$$ síkok hajlásszögét, ha a gúla magassága $$5$$ egyenlő.

Két szakember kidolgozta egy reklámanyag makettjét. Az elvégzett munkáért
$$5000$$ hrivnyát kapott és a következő módon osztottak el: az első szakember a
megkeresett pénz negyedét kapta, a másik pedig a többit. Mennyi pénzt kapott a
második szakember?

Az $$ABCDA_1B_1C_1D_1 $$egyenes hasáb alapja az $$ABCD$$  egyenlőszárú trapéz. A trapéz $$AD$$  alapja egyenlő a trapéz magasságával és hatszor nagyobb a $$BC$$  alapjánál. A hasáb $$CC_1  $$oldalélén át az $$AB$$  éllel párhuzamos síkot fektettek. Határozza meg a kapott metszet területét ($$cm^2$$ -ben), ha a hasáb térfogata $$672 cm^3$$  egyenlő, a magassága pedig $$8 cm$$.

A koordinátasíkon adottak az $$\overrightarrow{AB}$$ és $$\overrightarrow{a}(4;3)$$ kölcsönösen merőleges vektorok. Határozza meg a $$B$$ pont abszcisszáját, ha $$A(– 2; 0)$$ és a $$B$$ pont pedig az $$y=2x$$ egyenesre illeszkedik.

A szabályos $$ABCDA_1B_1C_1$$ hasáb alapja a szabályos (egyenlő oldalú)  $$ABC$$ háromszög. A $$K$$ pont a $$BC$$ oldalélének középpontja. Az $$A, K$$, és $$B_1$$ pontokon átmenő sík az alap síkjával $$\alpha$$  szöget alkot. Határozza meg az $$ABCDA_1B_1C_1$$ hasáb térfogatát, hatávolság az A csúcstól a $$BB_1C_1C$$ oldallapig egyenlő $$d$$.

A térben adva vannak az $$m$$  és $$n$$ párhuzamos egyenesek. A felsorolt állítások közül melyek lesznek igazak?

I. Létezik olyan sík, amelyik tartalmazza mindkét $$m$$  és $$n$$ egyenest.

II. Létezik olyan egyenes, amelyik metszi mindkét $$m$$  és $$n$$ egyenest.

III. Létezik olyan pont, amelyik hozzá tartozik mindkét $$m$$  és $$n$$ egyeneshez.

A derékszögű koordinátarendszer síkján az $$\overrightarrow{AB}$$ és $$\overrightarrow{a}(3;-5)$$  kollineáris vektorok vannak megadva. Határozza meg a $$B$$ pont abszcisszáját, ha $$A(-4; 1)$$ , a $$B​​​​​​​$$  pont pedig az $$y=3​​​​​​​$$  egyenesen fekszik.

A szabályos négyoldalú $$SABCD$$  gúla alapéle $$c$$  egyenlő, az $$SA$$  oldaléle pedig $$\alpha$$  szöget zár be az alaplappal. A gúla magasságának talppontján át az $$ASD$$  oldallappal párhuzamosan $$\beta$$   síkot fektettek.