ZNO 2012

ZNO 2012

1

Az $$O$$ és $$O_1$$ középpontú körvonalaknak belső érintőpontjuk van (lásd ábra). Számítsa ki az $$OO_1$$ távolságot, ha a körvonalak sugarai $$12 cm$$ és $$8 cm$$.

Два кола з центрами в точках $$О$$ i $$О_1$$ мають внутрішній дотик (див. рисунок).Обчисліть відстань $$ОО_1$$ , якщо радіуси кіл дорівнюють $$12 см$$ і $$8 см$$.

А
$$1,5\ cm$$
Б
$$2\ cm$$
В
$$3cm$$
Г
$$4\ cm$$
Д
$$8\ cm$$
2

Határozza meg az $$y=2-\frac{1}{x}$$ függvény értelmezési tartományát.

Знайдіть область визначення функції $$y=2-\frac{1}{x}.$$

А
$$\left(-\infty;+\infty\right)$$
Б
$$\left(-\infty;0\right)\bigcup\left(0;+\infty\right)$$
В
$$\left(-\infty;0\right)\bigcup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$$
Г
$$\left(-\infty;\frac{1}{2}\right)\bigcup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$$
Д
$$\left(0;\frac{1}{2}\right)$$
3

A diagramon a Vízi Múzeumot egy munkahét folyamán meglátogatók számát tüntették fel (keddtől vasárnapig). A hét melyik napján volt kétszerannyi látogató, mint az előző napon?

На діаграмі відображено кількість відвідувачів Музею води протягом одного робочого тижня (з вівторка до неділі). У який день тижня кількість відвідувачів була вдвічі більшою, ніж у попередній день?

А
szerda
Б
csütörtök
В
péntek
Г
szombat
Д
vasárnap
4

A felsorolt pontok közül melyik tartozik a térbeli $$O_z$$ derékszögű koordinátarendszer tengelyéhez?

Яка з наведених точок належить осі $$O_z$$ прямокутної системи координат у просторі?

А
$$M\left(0;-3;0\right)$$
Б
$$N\left(3;0;-3\right)$$
В
$$K\left(-3;0;0\right)$$
Г
$$L\left(-3;3;0\right)$$
Д
$$F\left(0;0;-3\right)$$
5

Az ábrán az $$y=f\left(x\right)$$ függvény grafikonját ábrázolták a $$\left[-4;4\right]$$ intervallumon. Határozd meg az összes olyan $$x$$ értékének halmazát, melyre teljesül az $$f\left(x\right)\le -2$$.

На рисунку зображено графік функції $$y=f\left(x\right)$$, визначеної на проміжку $$\left[-4;4\right]$$. Знайдіть множину всіх значень $$x$$, для яких $$f\left(x\right)\le -2$$.

А
$$\left[0;3\right]$$
Б
$$\left[-3;-2\right]$$
В
$$\left[-1;4\right]$$
Г
$$\left[-3;2\right]$$
Д
$$\left[-4;0\right]$$
6

Két szakember kidolgozta egy reklámanyag makettjét. Az elvégzett munkáért
$$5000$$ hrivnyát kapott és a következő módon osztottak el: az első szakember a
megkeresett pénz negyedét kapta, a másik pedig a többit. Mennyi pénzt kapott a
második szakember?

Два фахівці розробили макет рекламного оголошення. За роботу вони
отримали $$5000$$ грн, розподіливши гроші таким чином: перший отримав четверту
частину зароблених грошей, а другий — решту. Скільки гривень отримав за цю
роботу другий фахівець?

А
$$1000\ hrn$$
Б
$$1250\ hrn$$
В
$$3000\ hrn$$
Г
$$3750\ hrn$$
Д
$$4000\ hrn$$
7

A $$c$$ egyenes metszi az $$a$$ és $$b$$ párhuzamos egyeneseket (lásd ábra). A felsorolt állítások közül melyek lesznek igazak az 1, 2, 3 szögekre?

I. $$\angle 1$$ і $$\angle 3$$ - összefüggő.

II. $$\angle 1=\angle 2$$

III. $$\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$$ 

Пряма $$c$$ перетинає паралельні прямі $$a$$ і $$b$$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів 1, 2, 3?

I. $$\angle 1$$ і $$\angle 3$$ - суміжні.

II. $$\angle 1=\angle 2$$

III. $$\angle 2+\angle 3=180^{\circ}$$

А
csak az I.
Б
csak az I. és III
В
csak a III
Г
csak az I. és II
Д
az I.,II és III.
8

Rendezze a $$\sqrt[3]{2},1,\sqrt[5]{3}$$ számokat növekedő sorrendbe.

Запишіть числа $$\sqrt[3]{2},1,\sqrt[5]{3}$$ в порядку зростання.

А
$$\sqrt[3]{2},\sqrt[5]{3}$$
Б
$$\sqrt[5]{3},\sqrt[3]{2}$$
В
$$\sqrt[3]{2},\sqrt[5]{3},1$$
Г
$$\sqrt[5]{3},1,\sqrt[3]{2}$$
Д
$$\sqrt[3]{2},1,\sqrt[5]{3}$$
9

Az $$x$$ mely értékeivel lesznek az $$\overrightarrow{a}(2;x)$$ és $$\overrightarrow{b}(-4;10)$$ vektorok merőlegesek?

При якому значенні $$x$$ вектори $$\overrightarrow{a}(2;x)$$ і $$\overrightarrow{b}(-4;10)$$ перпендикулярні?

А
$$-5$$
Б
$$-0,8$$
В
$$0,8$$
Г
$$5$$
Д
$$20$$
10

A felsorolt rajzok közül melyiken ábrázolták vázlatosan az $$y=4-\left(x-1\right)^2$$ függvény grafikonját?

На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції $$y=4-\left(x-1\right)^2 $$?

А
Б
В
Г
Д
11

A mozi nézőtere 18 sorból áll. Az első sorban 7 ülőhely van, minden következő
sorban pedig 2 ülőhellyel több van, mint az előzőben. Hány ülőhely van összesen a
mozi nézőterén?

У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному
наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у
цьому залі?

А
$$432$$
Б
$$438$$
В
$$369$$
Г
$$450$$
Д
$$864$$
12

A $$8 cm$$ és $$10 cm$$ oldalhosszúságú téglalap a kisebbik oldalán körül forog (lásd ábra).
Határozza meg a kapott forgástest teljes felszínének területét.

Прямокутник із сторонами $$8 см$$ і $$10 см$$ обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть
площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А
$$360\pi\ cm^2$$
Б
$$160\pi\ cm^2$$
В
$$260\pi\ cm^2$$
Г
$$288\pi\ cm^2$$
Д
$$800\pi\ cm^2$$
13

Melyik intervallumhoz tartozik a $$\sin \ 410^{\circ} $$ kifejezés értéke?

Якому проміжку належить значення виразу $$\sin \ 410^{\circ}$$ ?

А
$$\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$$
Б
$$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$$
В
$$\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Г
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Д
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$$
14

Az $$A$$ és $$B$$ városokból, melyek között a távolság $$340 km$$, egyidejűleg egymással szemben
elindult egy autóbusz és egy transzfer taxi, megfelelően $$65 km/ó$$ és $$80 km/ó$$ állandó sebességgel.
Az autóbusz és a transzfer taxi megállás nélkül haladnak és még nem találkoztak.
Melyik képlettel lehet kiszámítani az autóbusz és a transzfer taxi közötti $$S km$$ (-ben)
távolságot a kiindulástól számított $$t$$ idő múlva?

З міст $$A$$ і $$B$$ , відстань між якими по шосе становить $$340 км$$, одночасно назустріч один одному виїхали
автобус і маршрутне таксі зі сталими швидкостями $$65 км/год$$ і $$80 км/год$$ відповідно. Автобус і
маршрутне таксі рухаються без зупинок і ще не зустрілися. За якою формулою можна обчислити
відстань $$S (у км)$$ між автобусом і маршрутним таксі по шосе через $$t$$ годин після початку руху?

А
$$S=340-15t$$
Б
$$S=340+145t$$
В
$$S=15t-340$$
Г
$$S=145t-340$$
Д
$$S=340-145t$$
15

A szabályos négyoldalú gúla magassága $$4 cm$$, az oldalmagassága (apotémája)
pedig $$5 cm$$. Határozza meg az oldallapja és alaplapja közötti szögének koszinuszát.

Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює $$4 см$$, а її апофема — $$5 см$$. Визначте косинус кута
між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А
$$\frac{1}{5}$$
Б
$$\frac{3}{5}$$
В
$$\frac{3}{4}$$
Г
$$\frac{4}{5}$$
Д
$$\frac{4}{3}$$
16

Az ábrán egy $$60 cm^2$$ területű $$ABCD$$ paralelogramma látható. Az $$M$$ pont a $$BC$$ oldalhoz
tartozik. Határozza meg annak az alakzatnak a területét, melyet a két befestett
háromszög alkot.

На рисунку зображено паралелограм $$ABCD$$, площа якого дорівнює $$60 см^2$$ . Точка $$M$$ належить
стороні $$BC$$. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А
$$45cm^2$$
Б
$$40cm^2$$
В
$$35cm^2$$
Г
$$30cm^2$$
Д
$$20cm^2$$
17

Oldja meg a $$\left(\frac{\pi }{4}\right)^x<\left(\frac{4}{\pi }\right)^3$$ egyenlőtlenséget.

Розв’яжіть нерівність $$\left(\frac{\pi }{4}\right)^x<\left(\frac{4}{\pi }\right)^3$$

А
$$\left(-3;+\infty\right)$$
Б
$$\left(3;+\infty\right)$$
В
$$\left(-\infty;3\right)$$
Г
$$\left(-\infty;-3\right)$$
Д
$$\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)$$
18

Az téglalapban $$ABCD$$, $$BC=80, AC=100$$. Az $$M$$ és $$K$$ pontokon keresztül, melyek megfelelően az $$AB$$ és $$BC$$
oldalon fekszenek, az oldalhoz egy párhuzamos egyenest húztak. Határozza meg
az $$MBK$$ háromszög nagyobbik oldalát, ha $$BK=20$$.

У прямокутнику $$ABCD: BC=80, AC=100$$ . Через точки $$M$$ і $$K$$, що належать сторонам $$AB$$ і $$BC$$
відповідно, проведено пряму, паралельну $$AC$$. Знайдіть довжину більшої сторони трикутника $$MBK$$,
якщо $$BK=20$$.

А
$$60$$
Б
$$50$$
В
$$30$$
Г
$$25$$
Д
$$15$$
19

Határozza meg az $$a$$ összes olyan értékének halmazát, melyre teljesül az
$$\left|a^3-a^2\right|=a^3-a^2 $$egyenlőség.

Укажіть множину всіх значень $$a$$, при яких виконується рівність $$\left|a^3-a^2\right|=a^3-a^2$$

А
$$\left[1;+\infty\right]$$
Б
$$\left\{0\right\}\bigcup\left[1;+\infty\right)$$
В
$$\left(-\infty;-1\right]\bigcup\left\{0\right\}$$
Г
$$\left[0;1\right]$$
Д
$$\left(-\infty;-1\right]\bigcup\left[1;+\infty\right)$$
20

Az $$f\left(x\right)$$ függvény deriváltja $$f'\left(x_0\right)=-4$$ az $$x_0$$ pontban. Határozza meg a $$g\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)+7x-3$$ függvény deriváltjának értékét az $$x_0$$ pontban.

Функція $$f\left(x\right)$$ має в точці $$x_0$$ похідну $$f'\left(x_0\right)=-4$$. Визначте значення похідної функції$$ g\left(x\right)=2\cdot f\left(x\right)+7x-3$$ в точці $$x_0$$.

А
$$-4$$
Б
$$12$$
В
$$-1$$
Г
$$15$$
Д
$$-8$$
21

Az (1 – 4) felsorolt kifejezésekhez válasszon vele azonosan egyenlő (А – Д) kifejezést, ha $$a>0$$.

До кожного виразу (1–4) при $$a>0$$ доберіть тотожно йому рівний (А–Д).

1. $\frac{2a^5}{a^6}$
2. $\left(2a\right)^5\cdot a^6$
3. $\left(2a^6\right)^5$
4. $\sqrt[6]{64a^5}$
А. $32a^{11}$
Б. $2a^{\frac{5}{6}}$
В. $2a^{\frac{6}{5}}$
Г. $2a^{-1}$
Д. $32a^{30}$
1. $\frac{2a^5}{a^6}$
2. $\left(2a\right)^5\cdot a^6$
3. $\left(2a^6\right)^5$
4. $\sqrt[6]{64a^5}$
А. $32a^{11}$
Б. $2a^{\frac{5}{6}}$
В. $2a^{\frac{6}{5}}$
Г. $2a^{-1}$
Д. $32a^{30}$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
22

Feleltesse meg az (1 – 4) pontokat az (А – Д) függvényekkel, amelyek grafikonjához ezek a pontok hozzátartoznak.

Feleltesse meg az (1 – 4) pontokat az (А – Д) függvényekkel, amelyek grafikonjához ezek a pontok hozzátartoznak.

Pont
1. $O\left(0;0\right)$
2. $M\left(0;-1\right)$
3. $N\left(-1;0\right)$
4. $K\left(0;1\right)$
Függvény
А. $y=2x+2$
Б. $y=\operatorname{ctg}x$
В. $y=\operatorname{tg}x$
Г. $y=\sqrt{x}-1$
Д. $y=2^x$
Точка
1. $O\left(0;0\right)$
2. $M\left(0;-1\right)$
3. $N\left(-1;0\right)$
4. $K\left(0;1\right)$
Функція
А. $y=2x+2$
Б. $y=\operatorname{ctg}x$
В. $y=\operatorname{tg}x$
Г. $y=\sqrt{x}-1$
Д. $y=2^x$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
23

Oldja meg az (1 – 4) egyenleteket. Feleltesse meg az egyenleteket és az

(А – Д) felsorolt gyökök számával a $$\left[-5;5\right]$$ szakaszon.

Розв’яжіть рівняння (1–4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А–Д) на відрізку $$\left[-5;5\right]$$ .

Egyenlet
1. $\cos ^2x-\sin ^2x=1$
2. $\log _3x=-2$
3. $\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0$
4. $x^4+5x^2+4=0$
Gyökök száma a szakaszon
А. nincs gyöke
Б. egy
В. kettő
Г. három
Д. négy
Рівняння
1. $\cos ^2x-\sin ^2x=1$
2. $\log _3x=-2$
3. $\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0$
4. $x^4+5x^2+4=00$
Кількість коренів на відрізку
А. жодного
Б. один
В. два
Г. три
Д. чотири
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
24

A rajzon az $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ kocka van ábrázolva. Minden (1 – 4) mondat kezdethez rendeljen egy olyan (А – Д) mondat befejezést úgy, hogy igaz állítást kapjon.

На рисунку зображено куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ . До кожного початку речення

(1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження

Mondat kezdete
1. A $CB$ egyenes
2. A $CD_1$ egyenes
3. A $AC$ egyenes
4. A $A_{1}B$ egyenes
Mondat befejezése
А. párhuzamos az $AA_1B_1B$ síkhoz
Б. merőleges az $AA_1B_1B$ síkra
В. hozzátartozik az $AA_1B_1B$ síkhoz
Г. az $AA_1B_1B$ síkkal csak két közös pontja van
Д. az $AA_1B_1B$ síkkal $45^\circ$
Початок речення
1. Пряма $CB$
2. Пряма $CD_1$
3. Пряма $AC$
4. Пряма $A_{1}B$
Закінчення речення
А. паралельна площині $AA_1B_1B$
Б. перпендикулярна площині $AA_1B_1B$
В. належить площині $AA_1B_1B$
Г. має з площиною $AA_1B_1B$ лише дві спільні точки.
Д. утворює з площиною $AA_1B_1B$ кут $45^\circ$.
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
25

A szülők két gyermekükkel, Marikával (4 éves) és Bogdánnal (7 éves), a szabadnapjukat a vidámparkban tervezik eltölteni. A szülők mindegyik gyereknek nem több mint három attrakciót engedélyez meglátogatni és azokat is csak egy - egy alkalommal. Ismeretes, hogy a „Villanyautó” és a „ Hullámvasút” attrakciókat csak 6 évesnél nagyobb gyerekek használhatják. A „Robogó” attrakcióra Bogdán nem fog menni. Bármelyik attrakció igénybevételére mindegyik gyereknek külön jegyet kell váltani. A táblázat segítségével, határozza meg azt a $$maximális$$ pénzösszeget ($$hrn$$ -ban), amit a szülők a belépőjegyek megvásárlására költenek.

Батьки разом із двома дітьми: Марійкою (4 роки) та Богданом (7 років) — збираються провести вихідний день у парку атракціонів. Батьки дозволяють кожній дитині відвідати не більше трьох атракціонів і кожний атракціон — лише по одному разу. Відомо, що на атракціони «Електричні машинки» і «Веселі гірки» допускають лише дітей старше 6 років. На «Паровозик» Богдан не піде. Для відвідування будь-якого атракціону необхідно купити квиток для кожної дитини. Скориставшись таблицею, визначте $$максимальну$$ суму коштів (у $$грн$$), що витратять батьки на придбання квитків для дітей.

Válasz:Відповідь:
26

Hány különböző $$\frac{m}{n}$$ tört létezik, ha az $$m 1; 2$$ vagy $$4$$ értékeket vesz fel, az $$n$$ pedig az $$5; 7; 11; 13$$ vagy $$17$$ értékeket?

Скільки існує різних дробів $$\frac{m}{n}$$, якщо $$m$$  набуває значень $$1; 2$$ або $$4$$, а $$n$$ набуває значень $$5; 7; 11; 13$$ або $$17$$?

Válasz:Відповідь:
27

Oldja meg az $$\begin{cases}y-x=9\\\frac{x+8}{2y-5}=2\end{cases}$$.egyenletrendszert. A feleletbe írja be az $$x_0∙y_0$$  szorzatot, ha az $$(x_0;y_0)$$  számpár az egyenletrendszer megoldása lesz.

Розв’яжіть систему рівнянь $$\begin{cases}y-x=9\\\frac{x+8}{2y-5}=2\end{cases}. $$Запишіть у відповідь добуток $$x_0∙y_0, $$якщо пара є розв’язком цієї системи рівнянь.

Válasz:Відповідь:
28

Számítsa ki a $$\log _a500-\log _a4$$ kifejezés értékét, ha $$\log _5a=\frac{1}{4}$$.

Обчисліть значення виразу $$\log _a500-\log _a4 $$якщо $$\log _5a=\frac{1}{4}$$.

Válasz:Відповідь:
29

Az $$ABC$$  háromszög $$AK$$  magasságának talppontja a $$BC$$  oldal meghosszabbítására illeszkedik (lásd ábra). $$AK=6 , KB=2\sqrt{3}$$ . Az $$ABC$$  háromszög köré írt kör sugara $$15\sqrt{3}$$ egyenlő. Határozza meg az $$AC$$  hosszát.

У трикутнику $$ABC$$  основа висоти $$AK$$ лежить на продовженні сторони BC  (див. рисунок). $$AK=6 , KB=2\sqrt{3}$$. Радіус описаного навколо трикутника $$ABC $$кола дорівнює $$15\sqrt{3}$$. Визначте довжину $$AC$$ .

Válasz:Відповідь:
30

Számítsa ki az ábrán látható kör $$x^2+y^2=25 $$egyenletének segítségével az $$\frac{1}{n}\int _{-5}^0\sqrt{25-x^2}dx$$

Обчисліть $$\frac{1}{n}\int _{-5}^0\sqrt{25-x^2}dx, $$використовуючи рівняння кола $$x^2+y^2=25, $$зображеного на рисунку.

Válasz:Відповідь:
31

Az $$ABCDA_1B_1C_1D_1 $$egyenes hasáb alapja az $$ABCD$$  egyenlőszárú trapéz. A trapéz $$AD$$  alapja egyenlő a trapéz magasságával és hatszor nagyobb a $$BC$$  alapjánál. A hasáb $$CC_1  $$oldalélén át az $$AB$$  éllel párhuzamos síkot fektettek. Határozza meg a kapott metszet területét ($$cm^2$$ -ben), ha a hasáb térfogata $$672 cm^3$$  egyenlő, a magassága pedig $$8 cm$$.

Основою прямої призми $$ABCDA_1B_1C_1D_1 $$є рівнобічна трапеція $$ABCD$$ . Основа $$AD  $$трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу BC . Через бічне ребро $$CC_1  $$призми проведено площину паралельно ребру $$AB$$ . Знайдіть площу утвореного перерізу (у $$см^2$$), якщо об’єм призми дорівнює $$672 см^3$$ , а її висота — $$8 см$$.

Válasz:Відповідь:
32

Az $$a$$  paraméter melyik legkisebbegész értékével van az $$\sqrt{2x+15}\cdot \left(\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}\right)=a\sqrt{2x+15} $$egyenletnek csak két különböző gyöke?

При якому найменшому цілому значенні параметра $$a$$ рівняння має $$\sqrt{2x+15}\cdot \left(\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}\right)=a\sqrt{2x+15} $$лише два різні корені?

Válasz:Відповідь: