ZNO 2018

A 2018 ZNO állami teszt feladatai

1

$$\frac{2a+2}{2}$$

$$\frac{2a+2}{2}$$

А
$$2a+1$$
Б
$$a+2$$
В
$$a+1$$
Г
$$2a$$
Д
$$a$$
2

Három egy síkon fekvő egyenes egy pontban metszik egymást (lásd ábra). Határozza meg az  $$\alpha$$  szög fokmértékét.

Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $$\alpha$$

А
$$80^{\circ}$$
Б
$$50^{\circ}$$
В
$$90^{\circ}$$
Г
$$100^{\circ}$$
Д
$$70^{\circ}$$
3

A barátok egy büfében vásároltak néhány egyforma darabonkénti $$10 hrn$$-ba kerülő süteményt és 5 egyforma darabonkénti $$x  hrn$$-ba kerülő zsemlét. Az adottszámok közül melyik lehet a vásárlásért fizetendő összeg ($$hrn$$-ban), ha $$x$$  – egész szám?

У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю $$10 грн$$ кожне і 5 однакових булочок вартістю $$x грн$$ кожна. Яке з чисел може виражати загальну вартість цієї покупки (у $$грн$$), якщо $$x$$ – ціле число?

А
$$31$$
Б
$$32$$
В
$$33$$
Г
$$34$$
Д
$$35$$
4

A rajzon a $$\left[-4;6\right]$$ intervallumon meghatározott $$y=f\left(x\right)$$ függvény grafikonja van ábrázolva. Válassza ki az $$f $$ függvénylegnagyobb értékét ezen az intervallumon.

На рисунку зображено графік функції $$y=f\left(x\right)$$ , визначеної на проміжку $$\left[-4;6\right]$$. Укажіть $$найбільше$$ значення функції $$f$$ на цьому проміжку.

А
$$-4$$
Б
$$3$$
В
$$4$$
Г
$$5$$
Д
$$6$$
5

A felsorolt számok közül melyik lesz a $$\log _4\left(x-1\right)=3$$ egyenlet gyöke?

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $$\log _4\left(x-1\right)=3$$

А
$$4$$
Б
$$13$$
В
$$63$$
Г
$$65$$
Д
$$82$$
6

Válassza ki az $$R$$  sugarú félgömb $$V$$ térfogatának kiszámítására szolgáló képletet (lásd ábra).

Укажіть формулу для обчислення об’єму $$V$$ півкулі радіуса $$R$$ (див. рисунок).

А
$$V=4\pi R^2$$
Б
$$V=\frac{2}{3}\pi R^3$$
В
$$V=\pi R^3$$
Г
$$V=2\pi R^2$$
Д
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$
7

Oldja meg a $$4\sqrt{x}=1 $$egyenletet.

Розв’яжіть рівняння $$4\sqrt{x}=1.$$

А
$$\frac{1}{2}$$
Б
$$\frac{1}{8}$$
В
$$16$$
Г
$$-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$$
Д
$$\frac{1}{16}$$
8

Határozza meg az $$y=\frac{x+1}{x-2} $$függvény értelmezési tartományát.

Знайдіть область визначення функції $$y=\frac{x+1}{x-2}.$$

А
$$\left(-\infty;2\right)\bigcup\left(2;+\infty\right)$$
Б
$$\left(-\infty;-1\right)\bigcup\left(2;+\infty\right)$$
В
$$\left(-\infty;-2\right)\bigcup\left(-2;+\infty\right)$$
Г
$$\left(-\infty;-1\right)\bigcup\left(-1;2\right)\bigcup\left(2;+\infty\right)$$
Д
$$\left(-\infty;+\infty\right)$$
9

A térben adva vannak az $$m$$  és $$n$$ párhuzamos egyenesek. A felsorolt állítások közül melyek lesznek igazak?

I. Létezik olyan sík, amelyik tartalmazza mindkét $$m$$  és $$n$$ egyenest.

II. Létezik olyan egyenes, amelyik metszi mindkét $$m$$  és $$n$$ egyenest.

III. Létezik olyan pont, amelyik hozzá tartozik mindkét $$m$$  és $$n$$ egyeneshez.

У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?

І. Існує площина, що містить обидві прямі $$m$$ і $$n$$.

ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі $$m$$ і $$n$$.

ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим $$m$$ і $$n$$.

А
csak I
Б
csak II
В
csak II és III
Г
csak III
Д
csak I és II
10

Egyszerűsítse az $$a\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)^2$$ kifejezést.

Спростіть вираз $$a\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)^2.$$

А
$$4ab+b^2$$
Б
$$4a-b^2$$
В
$$-b^2$$
Г
$$2ab-b^2$$
Д
$$b^2$$
11

A rajzon az $$a$$  és $$b$$ párhuzamos egyeneseket és $$CD$$ metszőt ábrázolták. Határozza meg az $$a$$  és $$b$$ egyenesek közötti távolságot, ha $$CK=5 cm , KD=2 cm$$ , a $$K$$ pont és $$a$$ egyenes közötti távolság pedig $$1 cm​​​​​​​$$ .

На рисунку зображено паралельні прямі $$a$$ і $$b$$ та січну $$CD$$. Знайдіть відстань між прямими $$a$$ і $$b$$, якщо $$CK = 5 см, KD = 2 см$$, а відстань від точки $$K$$ до прямої a дорівнює $$1 см$$.

А
$$2,5\ cm$$
Б
$$3\ cm$$
В
$$3,5\ cm$$
Г
$$4\ cm$$
Д
$$4,5\ cm$$
12

A tanuló hétfőtől péntekig feljegyezte mindennap az időt ($$percekben$$), amennyire szüksége volt az út megtételére jövet menet az iskolába (lásd táblázat). Átlagosan hány $$perccel$$ tartott több ideig az iskolából jövet, mint az iskolába menet?

Учень з понеділка до п’ятниці записував час (у $$хвилинах$$), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю). 

А
$$2$$
Б
$$3$$
В
$$4$$
Г
$$5$$
Д
$$6$$
13

$$1-\sin \alpha \operatorname{ctg}\alpha \cos \alpha $$

$$1-\sin \alpha \operatorname{ctg}\alpha \cos \alpha $$

А
$$\cos2\alpha$$
Б
$$1-\sin2\alpha$$
В
$$0$$
Г
$$\cos^2\alpha$$
Д
$$\sin^2\alpha$$
14

Oldja meg az $$\begin{cases}xy=-12\\ x(2y-1)=-18\end{cases} $$egyenlőtlenség-rendszert. Ha $$x_0; y_0$$  az egyenlőtlenség-rendszer megoldása, akkor $$x_0 =$$  

Розв’яжіть систему рівнянь $$\begin{cases}xy=-12\\ x(2y-1)=-18\end{cases}. $$Якщо $$(x_0; y_0)$$ – розв’язок системи, то $$x_0 =$$

А
$$-6$$
Б
$$-16$$
В
$$-9$$
Г
$$2$$
Д
$$6$$
15

A rajzon egy szabályos háromoldalú hasáb hálóját ábrázolták. Határozza meg a hasáb palástjának területét, ha a háló kerülete (folytonos vonal) egyenlő $$52 cm$$ , a hasáb alapjának kerülete pedig $$12 cm$$ .

На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює $$52 см$$, а периметр основи призми становить $$12 см$$

А
$$36cm^2$$
Б
$$48cm^2$$
В
$$60cm^2$$
Г
$$72cm^2$$
Д
$$96cm^2$$
16

Számítsa ki a $$\log _345+\log _3900-\log _3500 $$kifejezés értékét.

Обчисліть значення виразу $$\log _345+\log _3900-\log _3500.$$

А
$$\frac{1}{4}$$
Б
$$4$$
В
$$3$$
Г
$$27$$
Д
$$\log_3445$$
17

A rajzon egy $$T=2\pi$$ periódusú a valós számok halmazán értelmezett periodikusfüggvény grafikonjának részlete van ábrázolva. A felsorolt pontok közül válassza ki a grafikonhoz tartozó pontot.

На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом $$T=2\pi$$, яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.

А
$$\left(1;2\pi\right)$$
Б
$$\left(3\pi;0\right)$$
В
$$\left(-1;5\pi\right)$$
Г
$$\left(5\pi;0\right)$$
Д
$$\left(5\pi;-1\right)$$
18

Oldja meg a $$2^x+2^{x+3}\ge 144$$ egyenlőtlenséget.

Розв’яжіть нерівність $$2^x+2^{x+3}\ge 144$$

А
$$\left[34,5;+\infty\right)$$
Б
$$\left[4;+\infty\right)$$
В
$$\left(-\infty;4\right]$$
Г
$$\left(-\infty;4,5\right]$$
Д
$$\left[4,5;+\infty\right)$$
19

Válassza ki az $$f\left(x\right)=x\left(x^3+1\right) $$függvény deriváltját.

Укажіть похідну функції $$f\left(x\right)=x\left(x^3+1\right).$$

А
$$f'\left(x\right)=4x^3+1$$
Б
$$f'\left(x\right)=4x^3$$
В
$$f'\left(x\right)=3x^2$$
Г
$$f'\left(x\right)=3x^2+1$$
Д
$$f'\left(x\right)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}$$
20

A rajzon a fal keresztmetszetének ($$KLMN $$ téglalap) részletét ábrázolták egy $$ABFCD$$  boltíves vágással, amelynek a felső $$BFC$$ része egy $$1 m$$  sugarú körvonal köríve. Az $$AB​​​​​​​$$  és $$DC​​​​​​​$$  szakaszok merőlegesek az $$AD$$  szakaszra, $$AB=DC=2 m​​​​​​​$$ . $$AD=1,6 m​​​​​​​ , KL=2,75 m$$.  Határozza meg a vágás legmagasabb $$F$$ pontja és az $$LM$$  plafon közötti $$d​​​​​​​$$ távolságot.      

На рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник $$KLMN$$) з арковим прорізом $$ABFCD$$, верхня частина $$BFC$$ якого дугою кола радіуса $$1 м$$. Відрізки $$AB$$ і $$DC$$ перпендикулярні до $$AD$$$$AB=DC=2 m$$ . $$AD=1,6 m​​​​​​​ , KL=2,75 m.$$ Визначте відстань $$d$$ від найвищої точки $$F$$ прорізу до стелі $$LM$$.

А
$$0,25m$$
Б
$$0,3m$$
В
$$0,4m$$
Г
$$0,35m$$
Д
$$0,45m$$
21

Minden (1 – 4) mondat kezdethez válasszon egy olyan (А – Д) mondat véget, hogy a kapott állításigaz legyen.

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (A–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Mondat kezdete
1. Az $y=4,5x$ egyenes
2. Az $y = -4$ egyenes
3. Az $y = 2x+4$ egyenes
4. Az $y = y$ egyenes
Mondat vége
А. párhuzamos az $y=2x$ egyeneshez
Б. nincsenek közös pontok az $y=x^2-1$ függvény grikonjával
В. metszi az $x_0=2$ abszciszájú pontban az $y=3^x$ függvény grikonját
Г. párhuzamos az $y$ tengelyhez
Д. szögfelezője az I és III koordináta negyedeknek
Початок речення
1. Пряма $y = 4,5x$
2. Пряма $y = -4$
3. Пряма $y = 2x + 4$
4. Пряма $y = x$
Закінчення речення
А. є паралельною прямій $y = 2x$
Б. не має спільних точок з графіком функції $y=x^2-1$
В. перетинає графік функції $y=3^x$ у точці $x_0=2$
Г. є паралельною осі $y$
Д. є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
22

Minden (1 – 4) mondat kezdethez válasszon egy olyan (А – Д) mondat véget, hogy a kapott állításigaz legyen, ha $$a=-3$$ .

До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (A–Д) так, щоб

утворилося правильне твердження, якщо $$a = –3$$.

Mondat kezdete
1. Az $a^0$ kifejezés értéke
2. Az $a^2$ kifejezés értéke
3. Az $\frac{\left|a\right|}{a}$ kifejezés értéke
4. Az $\sqrt[3]{a}$ kifejezés értéke
Mondat vége
А. nagyobb $1$-nél
Б. egyenlő $1$
В. egyenlő $0$
Г. egyenlő $-1$
Д. kisebbbb $-1$-nél
Початок речення
1. Значення вираз $a^0$
2. Значення виразу $a^2$
3. Значення виразу $\frac{\left|a\right|}{a}$
4. Значення виразу $\sqrt[3]{a}$
Закінчення речення
А. більше за $1$
Б. дорівнює $1$
В. дорівнює $0$
Г. дорівнює $-1$
Д. менше за $-1$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
23

A henger és a kúp térfogatai és alaplapjaik sugara egyenlő. A henger alaplapjának területe egyenlő $$25\pi cm^2$$, a térfogata pedig $$100\pi cm^3$$ . Minden (1 – 4) mondat kezdethez válasszon egy olyan (А – Д) mondat véget, hogy a kapott állításigaz legyen.

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $$25\pi cm^2$$, а його об’єм – $$100\pi cm^3$$. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (A–Д) так, щоб утворилося правильне твердження

Mondat kezdete
1. A henger magassága egyenlő
2. A kúp magassága egyenlő
3. A henger alapjának sugara egyenlő
4. Твірна конуса дорівнює
Mondat vége
А. $4 cm$
Б. $5 cm$
В. $8 cm$
Г. $12 cm$
Д. $13 cm$
Початок речення
1. Висота циліндра дорівнює
2. Висота конуса дорівнює
3. Радіус основи циліндра дорівнює
4. Радіус основи циліндра дорівнює
Закінчення речення
А. $4 cm$
Б. $5 cm$
В. $8 cm$
Г. $12 cm$
Д. $13 cm$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
24

Válassza ki az (1 – 4) mértani alakzat (А – Д) területét.

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1–4) та її площею (A–Д).

Mértani alakzat
1. rombusz, amelynek oldala $6 cm$ és tompaszöge $120^\circ$
2. négyzet, amelybe $2 cm$ sugarú kör van írva
3. paralelogramma, amelynek egyik oldala $5 cm$, a tompaszögéből húzott magassága a másik oldalt $4 cm$ és $2 cm$ szakaszokra osztja
4. téglalap, amelynek nagyobbik oldala $6 cm$ és az átlóval $30^\circ$ szöget alkot
A mértani alakzat területe
А. $12 cm^2$
Б. $16 cm^2$
В. $18 cm^2$
Г. $12\sqrt{3}cm^2$
Д. $18\sqrt{3}cm^2$
1. ромб зі стороною $6см$ і тупим кутом $120^\circ$
2. квадрат, у який уписане коло радіуса $2см$
3. паралелограм, одна сторона якого дорів! нює $5 см$, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки $4 см$ і $2 см$.
4. ромб зі стороною $6см$ і тупим кутом $120^\circ$ прямокутник, більша сторона якого дорів! нює $6см$ й утворює з діагоналлю кут $30^\circ$
А. $12 cm^2$
Б. $16 cm^2$
В. $18 cm^2$
Г. $12\sqrt{3}cm^2$
Д. $18\sqrt{3}cm^2$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
25

Az autópálya $$h_{маг}$$$$ $$($$m$$ -ben) szélességének meghatározására, amelynek mindkét irányba 4 azonos forgalmi sávja van (lásd ábra), a $$h_{маг}=8b+r+2\triangle$$  képletet használják, ahol

$$b$$ -  egy forgalmi sáv szélessége

$$r$$ -  a forgalmi irányok közötti elválasztó sáv szélessége

$$\triangle$$ -  a szélső forgalmi sáv és útpadka közötti leállósáv szélessége

Для визначення ширини автомагістралі транспорту $$h_{маг} $$(у $$м$$), що в обох має напрямках по 4 однакові (див. смуги рисунок), руху використовують формулу $$h_{маг}=8b+r+2\triangle, $$де

$$b$$ – ширина однієї смуги руху транспорту;

$$r$$ – ширина розділювальної смуги між напрямками руху транспорту;

$$\triangle $$– ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.

1. Határozza meg a $b$ - egy forgalmi sáv szélességét ($m$-ben), ha $h_{маг}=40,2\ m,\ r=10\ m,\ \triangle \ =\ 1,5\ m.$
1. Визначте ширину $b$ (у $м$) однієї смуги, якщо $h_{маг}=40,2\ м,\ r=10\ м,\ \triangle \ =\ 1,5\ м.$
Válasz:Відповідь:
2. A tervezet szerint mindegyik $b$ forgalmi sáv szélességét $10$%-kal növelnék az $r$ forgalmi irányok közötti elválasztó sáv szélességének csökkentése révén. Hány méterrel kell csökkenteni az r forgalmi irányok közötti elválasztó sáv szélességét?
2. Заплановано збільшити ширину $b$ кожної смуги руху транспорту на $10$% за рахунок лише зменшення ширини $r$ розділювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину розділювальної смуги?
Válasz:Відповідь:
26

Az $$ABC$$  derékszögű ($$C\angle =90^{\circ} $$)  háromszögben a $$BM$$  súlyvonal középpontjának távolsága az $$AC$$  és $$BC$$  befogókig egyenlő $$5 cm$$  és $$6 cm$$  megfelelően.

У прямокутному трикутнику $$ABC$$ ($$C\angle =90^{\circ}$$) відстані від $$BM$$ середини медіани до катетів $$AC$$ і $$BC$$ дорівнюють і відповідно.

1. Határozza meg az $AC$ befogó hosszát ($cm$-ben).
1. Визначте довжину катета $AC$ (у $см$)
Válasz:Відповідь:
2. Határozza meg az $ABC$ háromszög köré írt körvonal sugarát ($cm$-ben).
2. Визначте радіус (у $см$) кола, описаного навколо трикутника $ABC$.
Válasz:Відповідь:
27

A mértani sorozat különbsége $$\frac{2}{3}$$ egyenlő, a négy első tagjának összege pedig $$65$$ egyenlő. Határozza meg a mértani sorozat első tagját.

Знаменник геометричної прогресії дорівнює $$\frac{2}{3}$$, а сума чотирьох перших її членів дорівнює
65. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Válasz:Відповідь:
28

A műhelyben $$240$$ széket kellet legyártani $$n$$ nap alatt, ráadásul naponta egyenlő mennyiségű széket terveztek elkészíteni. A megrendelő kérésére viszont a feladatot $$2​​​​​​​$$ nappal korábban teljesítették a tervezettnél. Ennek érdekében a tervezett napi gyártási normát $$4​​​​​​​$$ székkel kellett megnövelni. Határozza meg az $$n​​​​​​​$$ -t.

У майстерні мали виготовити $$240$$ стільців за $$n$$ днів, причому щодня планували виробляти
однакову кількість стільців. Однак, на прохання замовника, завдання виконали на $$2$$ дні раніше
запланованого терміну. Для цього довелося денну норму виготовлення збільшити на $$4$$ стільці.
Визначте $$n$$.

Válasz:Відповідь:
29

Ilonkának van $$8$$  őt ábrázoló fényképe és $$6$$  különböző az osztályáról készített fényképe. Összesen hányféle módja van kiválasztani $$3$$  őt ábrázoló fényképet a saját közösségi oldalára és $$2$$  az osztályáról készített fényképet az iskola honlapjára?

В Оленки є $$8$$ різних фотографій з її зображенням та $$6$$ різних фотографій її класу. Скільки
всього в неї є способів вибрати з них $$3$$ фотографії зі своїм зображенням для персональної
сторінки в соціальній мережі та $$2$$ фотографії свого класу для сайту школи?

Válasz:Відповідь:
30

A derékszögű koordinátarendszer síkján az $$\overrightarrow{AB}$$ és $$\overrightarrow{a}(3;-5)$$  kollineáris vektorok vannak megadva. Határozza meg a $$B$$ pont abszcisszáját, ha $$A(-4; 1)$$ , a $$B​​​​​​​$$  pont pedig az $$y=3​​​​​​​$$  egyenesen fekszik.

У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори $$\overrightarrow{AB}$$ та $$\overrightarrow{a}(3;-5)$$. Визначте абсцису точки $$B$$, якщо , $$A(-4; 1) $$а точка $$B$$ лежить на прямій $$y=3$$.

Válasz:Відповідь:
31

Adva vannak az $$f\left(x\right)=x^3$$  és $$\ g\left(x\right)=4\left|x\right|$$  függvények.

1. Szerkessze meg az $$f$$  függvény grafikonját.

2. Szerkessze meg az $$g$$  függvény grafikonját.

3. Határozza meg az $$f$$  és $$g$$  függvények grafikonjai metszéspontjának abszcisszáját.

4. Számítsa ki az $$f $$és $$g$$  függvények grafikonjai által határolt alakzat területét.

Задано функції $$f\left(x\right)=x^3 $$і $$\ g\left(x\right)=4\left|x\right|.$$

1. Побудуйте графік функції $$f$$.
2. Побудуйте графік функції $$g$$.
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій $$f$$ і $$g$$.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій $$f$$ і $$g$$.

Válasz:Відповідь:
Válasz:Відповідь:
32

A szabályos négyoldalú $$SABCD$$  gúla alapéle $$c$$  egyenlő, az $$SA$$  oldaléle pedig $$\alpha$$  szöget zár be az alaplappal. A gúla magasságának talppontján át az $$ASD$$  oldallappal párhuzamosan $$\beta$$   síkot fektettek.

У правильній чотирикутній піраміді $$SABCD$$ сторона основи $$ABCD$$ дорівнює $$c$$, а бічне ребро $$SA$$ утворює з площиною основи кут $$\alpha$$. Через основу висоти піраміди паралельно грані $$ASD$$ проведено площину $$\beta$$.

Válasz:Відповідь: